最坏为线性时间的查找第i小元素

思想方法：

既然是线性时间查找元素，那么我们每次划分时都需要均衡划分。所以我们每次总是取中位数辅助数组B的中位数x为原数组A的主元进行划分。

该算法分5步：

1.将输入数组的n个元素划分为floor(n/5)组，每组5个元素，且至多只有一个组由剩下的nmod5元素组成。

2.寻找ceil(n/5)个组中每一组的中位数。首先对每组中的元素(至多为5个)进行插入排序，然后从排序过的序列中选出中位数。

3.对第2步中找出ceil(n/5)个中位数，递归调用SELECT以找出其中位数x.(如果有偶数个中位数，根据决定，x是较小的中位数)

4.利用修改过的PARTITION过程，按中位数的中位数x对输入数组进行划分。让k比划分低区元素数目多1，所以x是第k小的元素，并且由n-k个元素在划分的高区。

5.如果i=k,则返回x，否则，如果i<k,则在低区递归调用SELECT以找出第i小的元素，如果i>k,则在高区找第i-k个最小元素。

思考过程：

开始我卡在书中第三步了，没有想出如何递归的找到中位数x。于是我试图要对得到的中位数辅助数组B排序以找到数组B中的中位数。这样带来的问题是在对含有n/5个元素的数组B排序时，可能会不是线性时间，而用线性时间排序算法又有很多限制。这个代码我就不贴出来了以免误导网友。然后经过1天，我又想到了一种递归调用数组B求其中位数的中位数。。。。的中位数，直到中位数就剩下一个时返回，但是这种方法不能精确找到辅助数组B的中间值。最后又经过1天，我终于找到了可行的递归找到辅助数组B的中位数方法。如果各位牛人发现我的代码有什么问题？欢迎大家指正。

代码如下：

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1. #include <iostream>  
2. #include <time.h>  
3. using namespace std;  
4. const n=14;  
5. //创建一个装有数组A以每5个元素为1组共n/5组，每组的中位数放入到数组B中，组成一组含有n/5个中位数的数组B  
6. int Find(int A[n],int p,int r);//递归当前数组A中从p到r个元素，以找到辅助中位数数组B的中位数。  
7. int PARTITION(int A[],int p,int r,int t)//t代表中位数数组B中的中位数，这里t代表为主元。  
8. {  
9.     int i=p-1,k=0;  
10.     for (int j=p;j<=r;j++)  
11.     {  
12.         if (A[j]<t)//将比主元t大的元素交换到数组A的右边去，比主元t小的到数组A的左边。  
13.         {  
14.             i++;  
15.             swap(A[i],A[j]);  
16.         }  
17.         if (A[j]==t)//如果A[j]等于主元  
18.         {  
19.             k=j;//那么记录下主元在A中的位置。  
20.         }  
21.     }  
22.     swap(A[i+1],A[k]);//完成划分操作，主元左边的元素都小于主元，主元右边的元素都大于主元。  
23.     return i+1;  
24. }  
25. int SELECT(int A[],int p,int r,int i)//i表示第i小的数。  
26. {  
27.     if (p>=r)  
28.     {  
29.         return A[p];  
30.     }  
31.     int t=Find(A,p,r);//返回的t代表辅助数组B的中位数。      
32.     int q=PARTITION(A,p,r,t);  
33.     int k=q-p+1;  
34.     if (i==k)  
35.     {  
36.         return A[q];  
37.     }  
38.     else if(i<k)  
39.     {  
40.         return SELECT(A,p,q-1,i);  
41.     }  
42.     else return SELECT(A,q+1,r,i-k);  
43. }  
44. int Find(int A[n],int p,int r)  
45. {      
46.     int key=0,t=0,m=r-p+1,h=0;  
47.     if (m%5==0)//如果当前数组A的大小能被5整除，那么这以5个元素为一组的m/5组数，没有余数那一组  
48.     {  
49.         h=m/5;  
50.     }  
51.     else//否则，应该加上含有余数的那一组。  
52.     {  
53.         h=m/5+1;  
54.      }  
55.     int *B=new int[h];  
56.     for(int j=0;j<h;j++)  
57.     {  
58.         B[j]=0;  
59.     }  
60.     for (int k=0;k<h;k++)//5个数一组，共h组。进行插入排序。  
61.     {//经过最多h=n/5+1次循环，那么总共循环了25h=25(n/5+1)=5n+25=O(n)次  
62.         for (int j=t+1+p;j<=5+t+p&&j!=r+2;j++)//h组中每组进行插入排序。注意加上数组初始坐标p(当前数组A的初值坐标)+t(在p基础上每5个为1组)  
63.         {//运行时间分析：5个一组运行插入排序，每次插入排序需要的时间是O(n^2)=5^2=25是基于固定划分的固定常数  
64.             key=A[j-1];  
65.             int i=j-1;  
66.             while (i>t+p&&A[i-1]<key)  
67.             {  
68.                 A[i]=A[i-1];  
69.                 i=i-1;  
70.             }  
71.             A[i]=key;  
72.         }  
73.         t+=5;//进入下一个5个元素为一组的插入排序  
74.     }  
75.     k=0;  
76.     for (int i=0;i<h&&k<h;i++)//经过最多h=n/5+1次循环(O(n))，将当前数组A中的每组的中位数依次放入到B中  
77.     {  
78.         if (i<h-1)  
79.         {  
80.             B[k]=A[2+5*i+p];  
81.             k++;  
82.             continue;  
83.         }  
84.         if(m%5!=0)  
85.         {  
86.             B[k]=A[5*i+p+(m%5)/2];  
87.         }  
88.         else   
89.         {  
90.             B[k]=A[2+5*i+p];  
91.             k++;  
92.         }  
93.     }  
94.     if (h==1)  
95.     {  
96.        return B[0];//当辅助数组B只剩下一个数时，那么这个数就是中位数的中位数。  
97.     }  
98.     else  
99.     {  
100.        return SELECT(B,0,h-1,(h-1)/2+1);//如果数组B元素个数是偶数，那么取数组B中的较小值。  
101.     }  
102. }  
103. void main()  
104. {  
105.     int A[n]={0};  
106.     //随机输入数组  
107.     srand( (unsigned)time( NULL ) );  
108.     for (int i=0;i<n;i++)  
109.     {  
110.         A[i]=rand()%100;  
111.         cout<<A[i]<<"\t";  
112.     }  
113.     cout<<endl;  
114.     cout<<"第"<<5<<"小的数="<<SELECT(A,0,n-1,5)<<endl;  
115. }